Probabilità di avere Ascia Ardente al turno 2 – un’analisi su Hearthstone!
Sommario
Senza Coin: 44.35%
Con il Coin: 52.60%
Se il mazzo prevede una sola copia di Ascia Ardente, le probabilità saranno 25% e 30.57% per una mano senza coin e una con il coin, rispettivamente.
Informazioni
Mi sono chiesto un sacco di volte come fare per assicurarmi una carta che mi serve nella mano iniziale. Considerata la grandezza del mazzo, il mulligan e il resto, qual è la probabilità?
Sappiamo che avere quella carta in doppia copia aumenterà la consistenza/probabilità; ma di quanto?
Quest’esercizio non vale solo per Ascia Ardente, ma è un esempio che possiamo usare come modello da relazionare ad altre situazioni. La stessa teoria può essere applicata ad altre carte.
La motivazione dietro questa operazione è scaturita anche in seguito al revival del Resurrect Priest. Sia Resurrezione che Maestro di spade ferito erano carte già esistenti, ma l’archetipo non era affatto popolare. Con l’introduzione di Alfiere d’Ebano (2 carte di resurrezione addizionali), il mazzo è diventato più giocabile. La consistenza della possibilità di far risorgere creature aumenta tremendamente con la disponibilità di 4 carte resurrezione invece di 2; ma di quanto? (Capisco che Alfiere e Resurrezione non possano essere comparati equamente, e che il ritorno del Resurrect Priest non c’è stato soltanto per via delle alte probabilità di resurrezione, ma anche per via di altri fattori; per esempio il fatto che l’Alfiere sia una creatura è anche esso un grande fattore che ne aumenta la giocabilità. Ma qui, mi sto solo concentrando sulle probabilità, con lo scopo di delineare una prospettiva su questo aspetto).
Spero di riuscire a trasformare queste “sensazioni di pancia” in numeri, così che i costruttori di mazzi possano usarli come guida quando si troveranno a decidere tra “dovrei avere 3 o 4 attivatori per il Patron”, e avere qualche numero che faccia da linea. Capisco che questa non è affatto l’unico fattore, ma avere questo tipo di prospettiva potrebbe aiutare.
L’obiettivo dell’intero esercizio va oltre la probabilità di avere una determinata carta al mulligan/mano iniziale, ma più generalmente “la probabilità di avere N carte al turno X”.
Si spera questo possa aiutare a rispondere a domande tipo “quali sono le possibilità di avere le mie N-carte-combo per il turno X?”, e “quali sono le probabilitò di avere almeno due attivatori per il turno X?”, “dovrei includere una seconda copia di Martelfato per aumentare la consistenza dell’Y%?”, ecc.
Ripartizione dettagliata
Per questa prima parte dell’esercizio, posterò i dettagli del lavoro manuale.
La parte 2 sarà di tavole generate, posterò solo i risultati finali; e possibilmente lo pseudo codice/algoritmo se avrò tempo di sintetizzarli.
Senza Coin, con solo una copia
[A1] – Numero di combinazioni = 30 preferendo 3 = 4060
[A2] – Numero di combinazioni con la carta desiderata = 29 preferendo 2 = 406
[A3] – Probabilità di ricevere la carta desiderata prima del mulligan = [A2]/[A1] = 10%
In generale, la probabilità di un evento è N, la probabilità che un evento succeda in un secondo tentativo indipendente è anche questo N. La probabilità che N succeda almeno una volta in due tentativi è: N+ (1-N)*N = 2N.
Quindi,
[A4] – Probabilità di ricevere la carta desiderata dopo un mulligan completo = 2*[A3] – [A3]2 = 19%
[A5] – Se il mulligan ha fallito, probabilità di pescarla al turno 2 = 1/27 + (26/27)*(1/26) = 2/27 = 7.41%
[A6] – Probabilità di ricevere la carta desiderata al turno 2 = [A4] + (1 – [A4])*[A5] = 25%
Senza Coin, con due copie
[B2] – Numero di combinazioni con almeno una copia della carta desiderata = 2*(29preferendo2) – 28preferendo1 = 784
[B3] – Probabilità di ricevere almeno una copia della carta desiderata prima del mulligan = [B2]/[A1] = 19.31%
[B4] – Probabilità di ricevere la carta desiderata dopo un mulligan completo = 2*[B3] – [B3]2 = 34.89%
[B5] – Se il mulligan ha fallito, probabilità di pescarla al turno 2 = 2/27 + (25/27)*(2/26) = 14.53%
[B6] – Probabilità di ricevere la carta desiderata al turno 2 = [B4] + (1 – [B4])*[B5] = 44.35%
Con Coin, con solo una copia
[C1] – Numero di combinazioni = 30 preferendo 4 = 27405
[C2] – Numero di combinazioni con la carta desiderata = 29 preferendo 3 =3654
[C3] – Probabilità di ricevere la carta desiderata prima del mulligan = [C2]/[C1] = 1/7.5 = 13.33%
[C4] – Probabilità di ricevere la carta desiderata dopo un mulligan completo = 2*[C3] – [C3]2 = 24.89%
[C5] – Se il mulligan ha fallito, probabilità di pescarla al turno 2 = 1/26 + (25/26)*(1/25) = 2/26 = 7.69%
[C6] – Probabilità di ricevere la carta desiderata al turno 2 = [C4] + (1 – [C4])*[C5] = 30.67%
Con Coin, con due copie
[D2] – Numero di combinazioni con almeno una copia della carta desiderata = 2*(29preferendo3) – 28preferendo2 =6930
[D3] – Probabilità di ricevere almeno una copia della carta desiderata prima del mulligan = [D2]/[C1] = 25.29%
[D4] – Probabilità di ricevere la carta desiderata dopo un mulligan completo = 2*[D3] – [D3]2 = 44.18%
[D5] – Se il mulligan ha fallito, probabilità di pescarla al turno 2 = 2/26 + (24/26)*(2/25) = 15.08%
[D6] – Probabilità di ricevere la carta desiderata al turno 2 = [D4] + (1 – [D4])*[D5] = 52.60%